Kan et problem være i NP-kompleksitetsklassen hvis det er en ikke-deterministisk turingmaskin som vil løse det i polynomisk tid
Spørsmålet "Kan et problem være i NP-kompleksitetsklassen hvis det er en ikke-deterministisk Turing-maskin som vil løse det i polynomisk tid?" berører grunnleggende konsepter i beregningskompleksitetsteori. For å løse dette spørsmålet på en omfattende måte, må vi vurdere definisjonene og egenskapene til NP-kompleksitetsklassen og rollen til ikke-deterministiske Turing-maskiner (NDTM).
Definisjon av NP
Klassen NP (ikke-deterministisk polynomtid) består av beslutningsproblemer der en gitt løsning kan verifiseres som riktig eller feil i polynomtid av en deterministisk Turing-maskin (DTM). Formelt er et beslutningsproblem i NP hvis det eksisterer en polynom-tidsverifiseringsalgoritme som kan verifisere riktigheten til et gitt sertifikat (eller vitne) for en forekomst av problemet.
Ikke-deterministiske Turing-maskiner
En ikke-deterministisk Turing-maskin er en teoretisk beregningsmodell som utvider mulighetene til en deterministisk Turing-maskin. I motsetning til en DTM, som følger en enkelt beregningsvei definert av dens overgangsfunksjon, kan en NDTM forfølge flere beregningsveier samtidig. Ved hvert trinn kan en NDTM "velge" fra et sett med mulige overganger, og effektivt utforske mange mulige beregninger parallelt.
Polynom-tids-løsbarhet av NDTM-er
Et problem sies å kunne løses av en NDTM i polynomisk tid hvis det eksisterer en ikke-deterministisk algoritme som kan finne en løsning på problemet innenfor en rekke trinn som er polynom i størrelsen på inngangen. Dette betyr at for enhver forekomst av problemet kan NDTM utforske en beregningsvei som fører til en løsning i polynomisk tid.
Forholdet mellom NP og NDTM
Klassen NP kan defineres tilsvarende i form av NDTM-er. Spesifikt er et beslutningsproblem i NP hvis og bare hvis det eksisterer en NDTM som kan løse problemet i polynomisk tid. Denne ekvivalensen oppstår fra det faktum at en NDTM kan gjette et sertifikat ikke-deterministisk og deretter verifisere det deterministisk i polynomisk tid.
For å illustrere dette med et eksempel kan du vurdere det velkjente NP-komplette problemet, det boolske tilfredshetsproblemet (SAT). Gitt en boolsk formel i konjunktiv normalform (CNF), er oppgaven å finne ut om det eksisterer en tilordning av sannhetsverdier til variablene som gjør formelen sann. En NDTM kan løse SAT i polynomisk tid ved ikke-deterministisk å gjette en tilordning av sannhetsverdier og deretter deterministisk sjekke om tilordningen tilfredsstiller formelen. Verifikasjonstrinnet, som innebærer å evaluere formelen under den gjettede oppgaven, kan gjøres i polynomisk tid.
Implikasjoner av Polynom-Time Solvability av NDTMs
Gitt definisjonene ovenfor og ekvivalensen mellom NP og polynom-tids-løselighet ved NDTM-er, kan vi konkludere med at hvis det eksisterer en NDTM som løser et problem i polynomisk tid, så er problemet faktisk i NP. Dette er fordi eksistensen av en slik NDTM innebærer at det er en polynom-tidsverifiseringsalgoritme for problemet. Den ikke-deterministiske gjettefasen til NDTM tilsvarer genereringen av et sertifikat, og den deterministiske verifiseringsfasen tilsvarer polynom-tidsverifiseringsalgoritmen.
Ytterligere betraktninger og eksempler
For å belyse dette konseptet ytterligere, la oss vurdere ytterligere eksempler på problemer i NP og deres forhold til NDTM:
1. Hamiltonsk stiproblem: Gitt en graf, spør Hamiltonian Path-problemet om det finnes en sti som besøker hvert toppunkt nøyaktig én gang. En NDTM kan løse dette problemet i polynomisk tid ved ikke-deterministisk å gjette en sekvens av toppunkter og deretter verifisere om sekvensen danner en gyldig Hamiltonsk bane. Verifikasjonstrinnet innebærer å sjekke tilknytningen til påfølgende toppunkter og sikre at hvert toppunkt besøkes nøyaktig én gang, som begge kan gjøres i polynomtid.
2. Subset Sum Problem: Gitt et sett med heltall og en målsum, spør Subset Sum-problemet om det finnes en delmengde av heltallene som summerer til målet. En NDTM kan løse dette problemet i polynomisk tid ved ikke-deterministisk å gjette en delmengde av heltallene og deretter verifisere om summen av delmengden er lik målet. Verifikasjonstrinnet innebærer å summere elementene i det gjettede delsettet, noe som kan gjøres i polynomtid.
3. Problem med graffarging: Gitt en graf og et antall farger, spør Graph Coloring-problemet om det er mulig å fargelegge toppunktene på grafen slik at ingen to tilstøtende toppunkter deler samme farge. En NDTM kan løse dette problemet i polynomisk tid ved ikke-deterministisk å tildele farger til hjørnene og deretter verifisere om fargen er gyldig. Verifikasjonstrinnet innebærer å sjekke fargene til tilstøtende hjørner, noe som kan gjøres i polynomisk tid.
Konklusjon
I lys av definisjonene og eksemplene som er gitt, er det klart at et problem faktisk kan være i NP-kompleksitetsklassen hvis det eksisterer en ikke-deterministisk Turing-maskin som vil løse det i polynomisk tid. Dette forholdet er en hjørnestein i beregningsmessig kompleksitetsteori og understreker ekvivalensen mellom polynomisk-tids-løselighet ved NDTM-er og medlemskap i NP-klassen.
Andre nyere spørsmål og svar vedr kompleksitet:
- Er ikke PSPACE-klassen lik EXPSPACE-klassen?
- Er P kompleksitetsklassen en undergruppe av PSPACE-klassen?
- Kan vi bevise at Np- og P-klassen er like ved å finne en effektiv polynomløsning for ethvert NP-komplett problem på en deterministisk TM?
- Kan NP-klassen være lik EXPTIME-klassen?
- Er det problemer i PSPACE som det ikke er noen kjent NP-algoritme for?
- Kan et SAT-problem være et NP-komplett problem?
- NP er klassen av språk som har polynomiske tidsverifikatorer
- Er P og NP faktisk samme kompleksitetsklasse?
- Er enhver kontekst fritt språk i P-kompleksitetsklassen?
- Er det en motsetning mellom definisjonen av NP som en klasse av beslutningsproblemer med polynom-tids-verifikatorer og det faktum at problemer i klassen P også har polynom-tids-verifikatorer?
Se flere spørsmål og svar i Complexity