Er enhver kontekst fritt språk i P-kompleksitetsklassen?
Spørsmålet om ethvert kontekstfritt språk (CFL) ligger innenfor kompleksitetsklassen P er et fascinerende tema innen beregningskompleksitetsteori. For å løse dette spørsmålet på en helhetlig måte, er det viktig å vurdere definisjonene av kontekstfrie språk, kompleksitetsklassen P og forholdet mellom disse konseptene.
Et kontekstfritt språk er en type formelt språk som kan genereres av en kontekstfri grammatikk (CFG). En CFG er et sett med produksjonsregler som beskriver alle mulige strenger i et gitt formelt språk. Hver regel i en CFG erstatter et enkelt ikke-terminalsymbol med en streng med ikke-terminale og terminale symboler. Kontekstfrie språk er viktige innen informatikk fordi de kan beskrive syntaksen til de fleste programmeringsspråk og gjenkjennes av pushdown-automater.
Kompleksitetsklassen P består av beslutningsproblemer som kan løses av en deterministisk Turing-maskin i polynomtid. Polynomtid, betegnet som O(n^k) der n er størrelsen på inngangen og k er en konstant, representerer en øvre grense for tidskompleksiteten til algoritmen. Problemer i P anses som effektivt løses fordi tiden som kreves for å løse dem, vokser med en håndterbar hastighet ettersom inndatastørrelsen øker.
For å avgjøre om hvert kontekstfritt språk er i P, må vi undersøke beregningsressursene som kreves for å bestemme medlemskap i et kontekstfritt språk. Beslutningsproblemet for et kontekstfritt språk er typisk angitt som følger: gitt en streng w og en kontekstfri grammatikk G, avgjør om w kan genereres av G.
Standardalgoritmen for å bestemme medlemskap i et kontekstfritt språk er CYK (Cocke-Younger-Kasami) algoritmen, som er en dynamisk programmeringsalgoritme. CYK-algoritmen opererer i O(n^3)-tid, der n er lengden på inngangsstrengen. Denne kubikktidskompleksiteten oppstår fordi algoritmen konstruerer en parsetabell som har dimensjoner proporsjonale med lengden på inngangsstrengen og antall ikke-terminale symboler i grammatikken.
Gitt at CYK-algoritmen opererer i polynomtid, følger det at medlemsproblemet for kontekstfrie språk kan løses i polynomtid. Følgelig er kontekstfrie språk faktisk innenfor kompleksitetsklassen P. Dette resultatet er betydelig fordi det fastslår at kontekstfrie språk, som er mer ekspressive enn regulære språk, fortsatt kan avgjøres effektivt.
For å illustrere dette kan du vurdere det kontekstfrie språket L = {a^nb^n | n ≥ 0}, som består av strenger med like mange 'a'er etterfulgt av like mange 'b'er. En kontekstfri grammatikk for dette språket kan defineres som følger:
S → aSb | ε
Her er S startsymbolet, og ε representerer den tomme strengen. CYK-algoritmen kan brukes til å bestemme om en gitt streng w tilhører L. For eksempel, gitt strengen w = "aaabbb", vil CYK-algoritmen konstruere en parsetabell for å bekrefte at w kan genereres av grammatikken.
I tillegg er det verdt å merke seg at noen kontekstfrie språk kan avgjøres enda mer effektivt enn den generelle O(n^3)-tidskompleksiteten til CYK-algoritmen. For eksempel kan deterministiske kontekstfrie språk, som er en undergruppe av kontekstfrie språk gjenkjent av deterministiske pushdown-automater, ofte bestemmes i O(n) tid. Denne lineære tidskompleksiteten oppstår fordi deterministiske pushdown-automater har en mer begrenset beregningsmodell, noe som tillater mer effektive parsingalgoritmer som LR(k)- eller LL(k)-parserne som brukes i kompilatordesign.
Medlemskapsproblemet for kontekstfrie språk kan løses i polynomisk tid ved å bruke algoritmer som CYK-algoritmen, og plasserer kontekstfrie språk innenfor kompleksitetsklassen P. Dette resultatet fremhever effektiviteten som kontekstfrie språk kan behandles med, og gjør dem egnet for applikasjoner innen programmeringsspråksyntaksanalyse og andre områder der formell språkgjenkjenning kreves.
Andre nyere spørsmål og svar vedr kompleksitet:
- Er ikke PSPACE-klassen lik EXPSPACE-klassen?
- Er P kompleksitetsklassen en undergruppe av PSPACE-klassen?
- Kan vi bevise at Np- og P-klassen er like ved å finne en effektiv polynomløsning for ethvert NP-komplett problem på en deterministisk TM?
- Kan NP-klassen være lik EXPTIME-klassen?
- Er det problemer i PSPACE som det ikke er noen kjent NP-algoritme for?
- Kan et SAT-problem være et NP-komplett problem?
- Kan et problem være i NP-kompleksitetsklassen hvis det er en ikke-deterministisk turingmaskin som vil løse det i polynomisk tid
- NP er klassen av språk som har polynomiske tidsverifikatorer
- Er P og NP faktisk samme kompleksitetsklasse?
- Er det en motsetning mellom definisjonen av NP som en klasse av beslutningsproblemer med polynom-tids-verifikatorer og det faktum at problemer i klassen P også har polynom-tids-verifikatorer?
Se flere spørsmål og svar i Complexity