Er P og NP faktisk samme kompleksitetsklasse?
Spørsmålet om P er lik NP er et av de mest dyptgripende og uløste problemene innen informatikk og matematikk. Dette problemet ligger i hjertet av beregningskompleksitetsteori, et felt som studerer den iboende vanskeligheten ved beregningsproblemer og klassifiserer dem i henhold til ressursene som trengs for å løse dem.
For å forstå spørsmålet er det viktig å forstå definisjonene av klassene P og NP. Klassen P består av beslutningsproblemer (problemer med ja/nei-svar) som kan løses av en deterministisk Turing-maskin i polynomtid. Polynomtid innebærer at tiden som kreves for å løse problemet kan uttrykkes som en polynomfunksjon av størrelsen på input. Eksempler på problemer i P inkluderer sortering av en liste med tall (som kan gjøres i O(n log n) tid ved å bruke effektive algoritmer som mergesort) og finne den største felles divisor av to heltall ved å bruke den euklidiske algoritmen (som kjører i O(log) (min(a, b))) tid).
Klassen NP, derimot, består av beslutningsproblemer som en gitt løsning kan verifiseres for i polynomisk tid av en deterministisk Turing-maskin. Dette betyr at hvis noen gir en kandidatløsning på problemet, kan man sjekke riktigheten effektivt. Viktigere, NP betyr ikke nødvendigvis at selve problemet kan løses i polynomisk tid, bare at en foreslått løsning kan verifiseres raskt. Eksempler på problemer i NP inkluderer det boolske tilfredsstillelsesproblemet (SAT), der man søker å finne ut om det eksisterer en tilordning av sannhetsverdier til variabler som gjør en gitt boolsk formel sann, og det Hamiltonske syklusproblemet, som spør om det eksisterer en syklus. som besøker hvert toppunkt i en graf nøyaktig én gang.
P vs NP-spørsmålet spør om hvert problem hvis løsning kan verifiseres i polynomisk tid (dvs. hvert problem i NP) også kan løses i polynomisk tid (dvs. er i P). Formelt er spørsmålet om P = NP. Hvis P var lik NP, ville det bety at hvert problem som en løsning raskt kan verifiseres for, også kunne løses raskt. Dette vil ha dype implikasjoner for felt som kryptografi, optimalisering og kunstig intelligens, ettersom mange for tiden uløselige problemer potensielt kan løses effektivt.
Til tross for flere tiår med forskning, forblir P vs NP-spørsmålet åpent. Ingen har ennå klart å bevise enten P = NP eller P ≠ NP. Vanskeligheten med dette problemet understrekes av dets inkludering som et av de syv "Millennium Prize Problems" av Clay Mathematics Institute, med en premie på 1 million dollar for en riktig løsning. Mangelen på en resolusjon har ført til betydelig utvikling innen både teoretisk og anvendt informatikk.
Et av nøkkelbegrepene knyttet til P vs NP-spørsmålet er NP-fullstendighet. Et problem er NP-fullstendig hvis det er i NP og like vanskelig som ethvert problem i NP, i den forstand at ethvert NP-problem kan reduseres til det ved å bruke en polynom-tidsreduksjon. Konseptet med NP-fullstendighet ble introdusert av Stephen Cook i hans banebrytende papir fra 1971, hvor han beviste at SAT-problemet er NP-komplett. Dette resultatet, kjent som Cooks teorem, var banebrytende fordi det ga et konkret eksempel på et NP-komplett problem og etablerte et rammeverk for å identifisere andre NP-komplett problemer.
Siden den gang har mange andre problemer vist seg å være NP-komplette, slik som reiseselgerproblemet, klikkproblemet og ryggsekkproblemet. Betydningen av NP-fullstendighet er at hvis et hvilket som helst NP-komplett problem kan løses i polynomisk tid, så kan hvert problem i NP løses i polynomisk tid, noe som antyder P = NP. Omvendt, hvis noe NP-komplett problem ikke kan løses i polynomisk tid, så er P ≠ NP.
For å illustrere konseptet med NP-fullstendighet, ta for deg det reisende selgerproblemet (TSP). I denne oppgaven må en selger besøke et sett med byer, hver nøyaktig én gang, og returnere til startbyen, med mål om å minimere den totale reiseavstanden. Beslutningsversjonen av TSP spør om det finnes en omvisning i byene med en total avstand mindre enn eller lik en gitt verdi. Dette problemet er i NP fordi, gitt en foreslått tur, kan man enkelt verifisere i polynomisk tid om turen oppfyller avstandsbegrensningen. Dessuten er TSP NP-komplett fordi ethvert problem i NP kan transformeres til en forekomst av TSP i polynomisk tid.
Et annet eksempel er klikkproblemet, som spør om en gitt graf inneholder en komplett undergraf (klikk) av en spesifisert størrelse. Dette problemet er i NP fordi gitt en kandidatklikke, kan man verifisere i polynomisk tid om det virkelig er en klikk med ønsket størrelse. Klikkeproblemet er også NP-komplett, noe som betyr at å løse det effektivt ville innebære at alle NP-problemer kan løses effektivt.
Studiet av P vs NP og NP-fullstendighet har ført til utvikling av ulike teknikker og verktøy innen teoretisk informatikk. En slik teknikk er konseptet med polynomiske tidsreduksjoner, som brukes for å vise at ett problem er minst like vanskelig som et annet. En polynom-tidsreduksjon fra problem A til problem B er en transformasjon som konverterer forekomster av A til forekomster av B i polynomisk tid, slik at en løsning på den transformerte forekomsten av B kan brukes til å løse den opprinnelige forekomsten av A. Hvis problemet A kan reduseres til oppgave B i polynomtid, og B kan løses i polynomtid, da kan A også løses i polynomtid.
Et annet viktig konsept er forestillingen om tilnærmingsalgoritmer, som gir nesten optimale løsninger på NP-harde problemer (problemer som er minst like harde som NP-komplette problemer) i polynomisk tid. Selv om disse algoritmene ikke nødvendigvis finner den eksakte optimale løsningen, tilbyr de en praktisk tilnærming til å håndtere vanskelige problemer ved å tilby løsninger som er nær best mulig. For eksempel har det reisende selgerproblemet en velkjent tilnærmingsalgoritme som garanterer en tur innenfor en faktor 1.5 av den optimale turen for den metriske TSP (hvor avstandene tilfredsstiller trekantens ulikhet).
Implikasjonene av å løse P vs NP-spørsmålet strekker seg utover teoretisk informatikk. I kryptografi er mange krypteringssystemer avhengige av hardheten til visse problemer, som heltallsfaktorisering og diskrete logaritmer, som antas å være i NP, men ikke i P. Hvis P var lik NP, kunne disse problemene potensielt løses effektivt, og kompromittere sikkerheten til kryptografiske systemer. Motsatt vil det å bevise P ≠ NP gi et sterkere grunnlag for sikkerheten til slike systemer.
Ved optimalisering blir mange problemer i den virkelige verden, som planlegging, ruting og ressursallokering, modellert som NP-harde problemer. Hvis P var lik NP, ville det bety at effektive algoritmer kunne utvikles for å løse disse problemene optimalt, noe som fører til betydelige fremskritt i ulike bransjer. Den nåværende antagelsen om at P ≠ NP har imidlertid ført til utviklingen av heuristiske og tilnærmingsalgoritmer som gir praktiske løsninger på disse problemene.
P vs NP-spørsmålet har også filosofiske implikasjoner, ettersom det berører naturen til matematisk sannhet og grensene for menneskelig kunnskap. Hvis P var lik NP, ville det bety at enhver matematisk utsagn med et kort bevis kunne oppdages effektivt, og potensielt revolusjonere prosessen med matematisk oppdagelse. På den annen side, hvis P ≠ NP, ville det antyde at det er iboende grenser for hva som effektivt kan beregnes og verifiseres, og fremhever kompleksiteten og rikdommen til matematiske strukturer.
Til tross for mangelen på et definitivt svar på P vs NP-spørsmålet, har forskningen rundt det ført til en dypere forståelse av beregningskompleksitet og utvikling av en rekke teknikker og verktøy som har hatt en dyp innvirkning på informatikk. Jakten på å løse dette spørsmålet fortsetter å inspirere og utfordre forskere, drive fremgang på feltet og utvide vår forståelse av de grunnleggende grensene for beregning.
Andre nyere spørsmål og svar vedr kompleksitet:
- Er ikke PSPACE-klassen lik EXPSPACE-klassen?
- Er P kompleksitetsklassen en undergruppe av PSPACE-klassen?
- Kan vi bevise at Np- og P-klassen er like ved å finne en effektiv polynomløsning for ethvert NP-komplett problem på en deterministisk TM?
- Kan NP-klassen være lik EXPTIME-klassen?
- Er det problemer i PSPACE som det ikke er noen kjent NP-algoritme for?
- Kan et SAT-problem være et NP-komplett problem?
- Kan et problem være i NP-kompleksitetsklassen hvis det er en ikke-deterministisk turingmaskin som vil løse det i polynomisk tid
- NP er klassen av språk som har polynomiske tidsverifikatorer
- Er enhver kontekst fritt språk i P-kompleksitetsklassen?
- Er det en motsetning mellom definisjonen av NP som en klasse av beslutningsproblemer med polynom-tids-verifikatorer og det faktum at problemer i klassen P også har polynom-tids-verifikatorer?
Se flere spørsmål og svar i Complexity