Er det problemer i PSPACE som det ikke er noen kjent NP-algoritme for?
I området for beregningsmessig kompleksitetsteori, spesielt når man undersøker romkompleksitetsklasser, er forholdet mellom PSPACE og NP av betydelig interesse. For å svare direkte på spørsmålet: ja, det er problemer i PSPACE som det ikke er noen kjent NP-algoritme for. Denne påstanden er forankret i definisjonene og relasjonene mellom disse kompleksitetsklassene.
PSPACE er klassen av beslutningsproblemer som kan løses av en Turing-maskin som bruker en polynom mengde plass. Med andre ord, et problem er i PSPACE hvis det finnes en algoritme som kan løse det ved å bruke en mengde minne som er polynom i størrelsen på inngangen. Denne klassen omfatter et bredt spekter av problemer, hvorav noen er ganske komplekse og involverer intrikate beregningsprosesser.
NP, på den annen side, er klassen av beslutningsproblemer som en foreslått løsning kan verifiseres for i polynomisk tid av en deterministisk Turing-maskin. Dette betyr at hvis noen gir deg en kandidatløsning på et problem i NP, kan du raskt sjekke riktigheten av den løsningen, spesielt i polynomisk tid i forhold til inngangsstørrelsen.
Forholdet mellom disse to klassene er slik at NP er en undergruppe av PSPACE. Dette er fordi ethvert problem som kan verifiseres i polynomtid også kan løses i polynomrom. For å forstå hvorfor, tenk på at en polynom-tidsverifikator bare kan lese et polynomantall biter av inngangen og den foreslåtte løsningen. Derfor kan den simuleres av en polynom-rommaskin som holder styr på posisjonene den har lest og operasjonene den har utført.
Det motsatte er imidlertid ikke kjent for å være sant; det vil si at det ikke er kjent om PSPACE er en delmengde av NP. Faktisk er det en utbredt oppfatning at PSPACE inneholder problemer som ikke er i NP, selv om dette ikke er formelt bevist. Denne troen er basert på eksistensen av problemer i PSPACE som ser ut til å kreve mer enn polynomisk tid å løse, selv om de kan løses med polynomisk plass.
Et av de kanoniske eksemplene på et problem i PSPACE som ikke er kjent for å være i NP, er problemet med Quantified Boolean Formula (QBF). QBF er en generalisering av det boolske tilfredshetsproblemet (SAT), som er NP-komplett. Mens SAT spør om det eksisterer en tilordning av sannhetsverdier til variabler som gjør en gitt boolsk formel sann, involverer QBF nestede kvantifiserere over variablene, for eksempel "for alle x, finnes det slik at formelen er sann." Tilstedeværelsen av disse kvantifiserere gjør QBF betydelig mer kompleks. QBF er PSPACE-komplett, noe som betyr at det er like vanskelig som ethvert problem i PSPACE. Hvis det fantes en NP-algoritme for QBF, ville det innebære at NP er lik PSPACE, et resultat som ville være banebrytende og anses som usannsynlig.
Et annet illustrerende eksempel er problemet med å avgjøre vinneren i generaliserte spill, for eksempel generaliserte versjoner av sjakk eller Go, som spilles på et N x N-brett. Disse problemene involverer et potensielt eksponentielt antall trekk og konfigurasjoner, men de kan avgjøres ved å bruke polynomisk rom ved å utforske alle mulige spilltilstander systematisk. Disse problemene er også PSPACE-komplette, noe som ytterligere antyder at det finnes problemer i PSPACE som ikke er i NP.
For å dykke dypere inn i hvorfor visse problemer i PSPACE antas å være utenfor NP, vurder naturen til rombegrensede kontra tidsavgrensede beregninger. Polynomisk plass tillater et potensielt eksponentielt antall beregningstrinn, så lenge rommet som brukes forblir polynomielt avgrenset. Dette står i sterk kontrast til NP, hvor tiden er polynomisk avgrenset. Den eksponentielle tiden som tillates av polynomisk plass, kan brukes til å løse problemer som involverer uttømmende søk over eksponentielt store rom, slik som de man møter i QBF og generaliserte spill.
Dessuten er det intrikate teoretiske konstruksjoner som ytterligere støtter skillet mellom PSPACE og NP. For eksempel generaliserer begrepet veksling, introdusert av Chandra, Kozen og Stockmeyer, ikke-determinisme og fører til klassen AP (alternerende polynomtid). Det har blitt vist at AP er lik PSPACE, og gir dermed et annet perspektiv på kraften til polynomiske romberegninger. Veksling involverer en sekvens av eksistensielle og universelle kvantifiserere, som speiler strukturen til QBF, og viser kompleksiteten som ligger i PSPACE-problemer.
Det er også verdt å merke seg at separasjon av kompleksitetsklasser er et grunnleggende åpent spørsmål i teoretisk informatikk. Det berømte P vs NP-problemet er et spesielt tilfelle av denne bredere undersøkelsen. På samme måte forblir spørsmålet om NP er lik PSPACE uløst. Imidlertid er konsensus på feltet, basert på omfattende studier og arten av kjente problemer, at PSPACE sannsynligvis inneholder problemer som ikke er i NP.
Eksistensen av problemer i PSPACE som det ikke er noen kjent NP-algoritme for, støttes av definisjonene og relasjonene mellom disse kompleksitetsklassene, så vel som av konkrete eksempler som QBF og generaliserte spillproblemer. Disse eksemplene fremhever de intrikate og potensielt eksponentielle beregningsprosessene som kan administreres innenfor polynomisk rom, men som neppe er begrenset til polynomisk tid, og dermed plasserer dem utenfor NP-området.
Andre nyere spørsmål og svar vedr kompleksitet:
- Er ikke PSPACE-klassen lik EXPSPACE-klassen?
- Er P kompleksitetsklassen en undergruppe av PSPACE-klassen?
- Kan vi bevise at Np- og P-klassen er like ved å finne en effektiv polynomløsning for ethvert NP-komplett problem på en deterministisk TM?
- Kan NP-klassen være lik EXPTIME-klassen?
- Kan et SAT-problem være et NP-komplett problem?
- Kan et problem være i NP-kompleksitetsklassen hvis det er en ikke-deterministisk turingmaskin som vil løse det i polynomisk tid
- NP er klassen av språk som har polynomiske tidsverifikatorer
- Er P og NP faktisk samme kompleksitetsklasse?
- Er enhver kontekst fritt språk i P-kompleksitetsklassen?
- Er det en motsetning mellom definisjonen av NP som en klasse av beslutningsproblemer med polynom-tids-verifikatorer og det faktum at problemer i klassen P også har polynom-tids-verifikatorer?
Se flere spørsmål og svar i Complexity