Å avgjøre om to kontekstfrie grammatikker godtar det samme språket er faktisk mulig. Problemet med å avgjøre om to kontekstfrie grammatikker godtar det samme språket, også kjent som problemet med "Ekvivalens av kontekstfrie grammatikker", er uavgjørelig. Det er med andre ord ingen algoritme som alltid kan avgjøre om to kontekstfrie grammatikker godtar samme språk.
For å forstå hvorfor dette problemet ikke kan avgjøres, må vi vurdere teorien om beregningsmessig kompleksitet og begrepet avgjørbarhet. Avgjørbarhet refererer til evnen til en algoritme til alltid å avslutte og produsere et riktig svar for en gitt inngang. I tilfellet med "Ekvivalens av kontekstfrie grammatikker"-problemet, hvis det var en beslutningsalgoritme, ville den alltid stoppe og riktig bestemme om to kontekstfrie grammatikker godtar det samme språket.
Beviset for uavgjørlighet for dette problemet kan etableres ved å redusere det til «Stoppeproblemet», som er et klassisk problem som ikke kan avgjøres innen informatikk. Reduksjonen viser at hvis vi hadde en avgjørelsesalgoritme for "Equivalence of Context-Free Grammars"-problemet, kunne vi bruke den til å løse "Stoppingsproblemet", som er kjent for å være uavgjørelig. Siden "Stoppeproblemet" er ubesluttsomt, følger det at problemet "Ekvivalens av kontekstfrie grammatikker" også er ubesluttsomt.
For å gi en mer intuitiv forståelse, la oss vurdere et eksempel. Anta at vi har to kontekstfrie grammatikker G1 og G2. G1 genererer språket til alle palindromer over alfabetet {a, b}, mens G2 genererer språket til alle strenger av formen a^nb^n (der n er et positivt heltall). Intuitivt kan vi se at disse to grammatikkene ikke genererer det samme språket. Å bevise dette formelt er imidlertid en utfordrende oppgave, og det er ingen generell algoritme som kan gjøre det for et gitt par kontekstfrie grammatikker.
Uavgjøreligheten til "Ekvivalens av kontekstfri grammatikk"-problemet har betydelige implikasjoner i forskjellige områder av informatikk, inkludert programmeringsspråkteori, kompilatordesign og naturlig språkbehandling. Den fremhever begrensningene ved beregning og eksistensen av problemer som ikke kan løses algoritmisk.
Det er mulig å avgjøre om to kontekstfrie grammatikker godtar det samme språket, men å avgjøre om de gjør det er et uavgjort problem. Dette resultatet er etablert gjennom en reduksjon til det uavgjørelige "Stoppeproblemet". Uavgjørligheten til dette problemet har viktige implikasjoner i ulike områder av informatikk.
Andre nyere spørsmål og svar vedr Avgjørbarhet:
- Kan et bånd begrenses til størrelsen på inngangen (som tilsvarer at hodet på turingmaskinen er begrenset til å bevege seg forbi inngangen til TM-båndet)?
- Hva betyr det at forskjellige varianter av Turing-maskiner er likeverdige når det gjelder databehandling?
- Kan et turing gjenkjennelig språk utgjøre en delmengde av avgjørbart språk?
- Er stoppproblemet til en Turing-maskin avgjørbart?
- Hvis vi har to TM-er som beskriver et avgjørbart språk, er ekvivalensspørsmålet fortsatt uavgjort?
- Hvordan skiller akseptproblemet for lineært avgrensede automater seg fra det for Turing-maskiner?
- Gi et eksempel på et problem som kan avgjøres av en lineært avgrenset automat.
- Forklar begrepet avgjørbarhet i sammenheng med lineært avgrensede automater.
- Hvordan påvirker størrelsen på båndet i lineært avgrensede automater antallet distinkte konfigurasjoner?
- Hva er hovedforskjellen mellom lineære avgrensede automater og Turing-maskiner?
Se flere spørsmål og svar i Avgjørbarhet