Reduserbarhet er et grunnleggende begrep i beregningskompleksitetsteori som spiller en viktig rolle i å bevise uavgjørlighet. Det er en teknikk som brukes til å fastslå uavgjørligheten til et problem ved å redusere det til et kjent ubesluttsomt problem. I hovedsak lar reduserbarheten oss vise at hvis vi hadde en algoritme for å løse det aktuelle problemet, kunne vi bruke den til å løse det kjente uavgjorte problemet, som er en selvmotsigelse.
For å forstå reduserbarhet, la oss først definere forestillingen om et beslutningsproblem. Et beslutningsproblem er et beregningsproblem som krever et ja/nei-svar. For eksempel er problemet med å bestemme om et gitt tall er primtall eller sammensatt et beslutningsproblem. Vi kan representere beslutningsproblemer som formelle språk, der strengene i språket er de tilfellene hvor svaret er «ja».
La oss nå vurdere to beslutningsproblemer, P og Q. Vi sier at P er reduserbar til Q (betegnet som P ≤ Q) hvis det finnes en beregnelig funksjon f som transformerer forekomster av P til forekomster av Q på en slik måte at svaret til en forekomst er x av P "ja" hvis og bare hvis svaret på f(x) av Q er "ja". Med andre ord, f bevarer svaret på problemet.
Nøkkelideen bak reduserbarhet er at hvis vi kan redusere oppgave P til oppgave Q, så er Q minst like vanskelig som P. Hvis vi hadde en algoritme for å løse Q, kunne vi brukt den, sammen med reduksjonsfunksjonen f, til å løse P. Dette betyr at hvis Q er uavgjørlig, så må P også være uavgjørlig. Dermed lar reduserbarhet oss "overføre" uavgjørlighet fra ett problem til et annet.
For å bevise uavgjørlighet ved å bruke reduserbarhet, starter vi vanligvis med et kjent problem som ikke kan avgjøres, for eksempel stanseproblemet, som spør om et gitt program stopper på en gitt inngang. Vi viser så at hvis vi hadde en algoritme for å løse vårt interesseproblem, kunne vi bruke den til å løse stanseproblemet, noe som førte til en selvmotsigelse. Dette fastslår uavgjørligheten i problemet vårt.
La oss for eksempel vurdere problemet med å avgjøre om et gitt program P godtar noen input. Vi kan redusere stanseproblemet til dette problemet ved å konstruere en reduksjonsfunksjon f som tar som input et program Q og en inngang x, og sender ut et program P som oppfører seg som følger: hvis Q stopper på x, så aksepterer P enhver inngang; ellers går P inn i en uendelig sløyfe for enhver inngang. Hvis vi hadde en algoritme for å løse problemet med å bestemme om P aksepterer noen inndata, kunne vi bruke den til å løse stanseproblemet ved å bruke den på f(Q, x). Derfor er problemet med å avgjøre om et program aksepterer noen input uavgjort.
Reduserbarhet er en kraftig teknikk innen beregningskompleksitetsteori som lar oss bevise at et problem ikke kan avgjøres ved å redusere det til et kjent problem som ikke kan avgjøres. Ved å etablere en reduksjon fra et problem P til et problem Q viser vi at Q er minst like hard som P, og hvis Q er uavgjørlig, så må P også være uavgjørlig. Denne teknikken gjør oss i stand til å overføre uavgjørlighet mellom problemer og gir et verdifullt verktøy for å forstå grensene for beregning.
Andre nyere spørsmål og svar vedr Avgjørbarhet:
- Kan et bånd begrenses til størrelsen på inngangen (som tilsvarer at hodet på turingmaskinen er begrenset til å bevege seg forbi inngangen til TM-båndet)?
- Hva betyr det at forskjellige varianter av Turing-maskiner er likeverdige når det gjelder databehandling?
- Kan et turing gjenkjennelig språk utgjøre en delmengde av avgjørbart språk?
- Er stoppproblemet til en Turing-maskin avgjørbart?
- Hvis vi har to TM-er som beskriver et avgjørbart språk, er ekvivalensspørsmålet fortsatt uavgjort?
- Hvordan skiller akseptproblemet for lineært avgrensede automater seg fra det for Turing-maskiner?
- Gi et eksempel på et problem som kan avgjøres av en lineært avgrenset automat.
- Forklar begrepet avgjørbarhet i sammenheng med lineært avgrensede automater.
- Hvordan påvirker størrelsen på båndet i lineært avgrensede automater antallet distinkte konfigurasjoner?
- Hva er hovedforskjellen mellom lineære avgrensede automater og Turing-maskiner?
Se flere spørsmål og svar i Avgjørbarhet