Hvordan fungerer beviset på ekvivalens mellom kontekstfrie grammatikker (CFGs) og ikke-deterministiske pushdown-automater (PDAer)?
Beviset på ekvivalens mellom kontekstfrie grammatikker (CFGs) og ikke-deterministiske pushdown-automater (PDAer) er et grunnleggende konsept i beregningskompleksitetsteori. Dette beviset fastslår at ethvert språk generert av en CFG kan gjenkjennes av en PDA, og omvendt. I denne forklaringen vil vi vurdere detaljene i dette beviset, og gi en omfattende og didaktisk forståelse av emnet.
For å begynne, la oss definere komponentene som er involvert. En CFG er en formalisme som brukes til å beskrive kontekstfrie språk. Den består av et sett med produksjonsregler som genererer strenger ved å omskrive ikke-terminale symboler til sekvenser av terminale og ikke-terminale symboler. På den annen side er en PDA en beregningsmodell som utvider mulighetene til en begrenset automat ved å inkorporere en stabel. Stabelen lar PDAen utføre ikke-deterministiske operasjoner, noe som gjør den kraftigere enn en endelig automat.
Beviset for ekvivalens mellom CFG-er og PDA-er kan deles inn i to deler: bevise at ethvert språk generert av en CFG kan gjenkjennes av en PDA, og bevise at ethvert språk som gjenkjennes av en PDA kan genereres av en CFG.
La oss først vurdere retningen av CFG til PDA. Gitt en CFG, må vi konstruere en tilsvarende PDA som gjenkjenner det samme språket. Dette kan gjøres ved å simulere utledningsprosessen til CFG ved å bruke stabelen til PDA. Hvert ikke-terminalsymbol i CFG tilsvarer en tilstand i PDA, og hver produksjonsregel tilsvarer en overgang i PDA. Ved å lese inndatastrengen og manipulere stabelen, kan PDAen simulere avledningsprosessen og akseptere strengen hvis den tilhører språket generert av CFG.
La oss for eksempel vurdere CFG med følgende produksjonsregler:
S -> aSb | ε
Denne CFG genererer språket til alle strenger som består av et hvilket som helst antall 'a'er etterfulgt av det samme antallet 'b'er. For å konstruere en ekvivalent PDA, kan vi bruke to tilstander: en for å lese 'a'er og skyve dem inn på stabelen, og en annen for å lese 'b'er og sprette fra stabelen. Overgangen fra den første tilstanden til den andre tilstanden skjer når en "a" oppstår, og overgangen fra den andre tilstanden til den aksepterende tilstanden skjer når en "b" oppstår. Ved å følge denne prosessen gjenkjenner PDA det samme språket som CFG.
La oss nå vurdere retningen til PDA til CFG. Gitt en PDA, må vi konstruere en tilsvarende CFG som genererer det samme språket. Dette kan gjøres ved å bruke konseptet parse trær. Et parse-tre representerer utledningsprosessen til en streng i en CFG. Ved å analysere overgangene til PDAen og konstruere et parse-tre, kan vi bestemme produksjonsreglene for tilsvarende CFG.
La oss for eksempel vurdere en PDA som gjenkjenner språket til alle strenger som består av like mange 'a'er og 'b'er'. Ved å analysere overgangene til PDAen kan vi konstruere et parse-tre som representerer utledningsprosessen til en streng. Fra dette analysetreet kan vi trekke ut produksjonsreglene til den tilsvarende CFG, som vil ligne på følgende:
S -> aSb | bSa | ε
Disse produksjonsreglene genererer samme språk som PDA.
Beviset på ekvivalens mellom CFG-er og PDA-er fastslår at ethvert språk som genereres av en CFG kan gjenkjennes av en PDA, og ethvert språk som gjenkjennes av en PDA kan genereres av en CFG. Dette beviset innebærer å konstruere en ekvivalent PDA for en gitt CFG og å konstruere en ekvivalent CFG for en gitt PDA. Ved å simulere avledningsprosessen og analysere overgangene kan vi etablere ekvivalensen mellom disse to formalismene.
Andre nyere spørsmål og svar vedr EITC/IS/CCTF Computational Complexity Theory Fundamentals:
- Vennligst beskriv eksemplet i svaret hvor er binær streng med enda 1 symboler som gjenkjenner FSM."
- Hvordan påvirker ikke-determinisme overgangsfunksjonen?
- Er vanlige språk likeverdige med Finite State Machines?
- Er ikke PSPACE-klassen lik EXPSPACE-klassen?
- Er et algoritmisk beregnbart problem et problem som kan beregnes av en Turing-maskin i henhold til Church-Turing-oppgaven?
- Hva er lukkeegenskapen til vanlige språk under sammenkobling? Hvordan kombineres endelige tilstandsmaskiner for å representere foreningen av språk som gjenkjennes av to maskiner?
- Kan ethvert vilkårlig problem uttrykkes som et språk?
- Er P kompleksitetsklassen en undergruppe av PSPACE-klassen?
- Har hver multi-tape Turing-maskin en tilsvarende enkelt-tape Turing-maskin?
- Hva er utgangen av predikater?
Se flere spørsmål og svar i EITC/IS/CCTF Computational Complexity Theory Fundamentals